Schwäne Quadratisches Fraktal von Tis Veugen

Die Inspiration für dieses Bild stammt von Eschers berühmtem Quadratischen Limit, bei dem einige der Fischkacheln gespiegelt sind. In unserem Bild sind die Dreiecke des Mosaiks zu Schwänen verzerrt, so dass alle Schwäne die gleiche Form haben; sie sind nur gedreht und/oder skaliert, aber nicht gespiegelt. Ein weiterer wichtiger Unterschied zu Eschers Kunstwerk ist die fraktale Struktur in der Mitte.
Es gibt viele andere Variationen von Escher's Square Limit, zum Beispiel: Fathauer [1] zeigt, dass Eschers Deformationsschema auf den Diagonalen nicht konsistent ist. Escher verwendet Schwesterkacheln auf den Diagonalen, während Fathauer Unterkacheln verwendet, was zu einer achteckigen Grenze der fraktalen Konstruktion führt. Darüber hinaus können anstelle eines Quadrats auch ein Sechseck oder andere Polygone verwendet werden. Mein Werkzeug Tissellator enthält mehr als 40 Variationen der quadratischen Begrenzungsgrafik.
Überraschenderweise hat Escher sein Square Limit nicht mit einem fraktalen Zentrum kombiniert. Er untersuchte das fraktale Verhalten von einem einzigen zentralen Punkt aus, wie z. B. in [2, S. 91] gezeigt. Auch er machte das Fraktal immer kleiner. Seine Illustration zur Vorlesung über fraktale Geometrie, siehe [2, S. 252], enthält tatsächlich genau das gleiche Schema abnehmender Dreiecke wie das Schema um das Zentrum in unserer Abbildung! Escher hätte also ein doppeltes fraktales Bild erstellen können, aber wir werden nie erfahren, warum er es nicht getan hat.

[1] Robert Fathauer. Tessellations - Mathematics, Art, and Recreation. CRC Press, 2021
[2] Doris Schattschneider. Visions of Symmetry - Notebooks, Periodic Drawings, and Related Work of M. C. Escher. W. H. Freeman and Company, 1990